¿Que es el Perímetro?:
En matemáticas, el perímetro es
la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica.
Aplicaciones prácticas
El perímetro y el área son magnitudes en la
determinación de un polígono o una figura geométrica; se utiliza para
calcular la frontera de un objeto, tal como una valla. El área
se utiliza cuando podemos obtener la superficie interior de un perímetro que se
desea cubrir con algo, tal como césped o fertilizantes.
Ecuaciones
Perímetro de un polígono
El perímetro de un polígono se calcula sumando las
longitudes de todos sus lados. Así pues, la fórmula para los triángulos es:
P = a + b + c
donde a, b y c son
las longitudes de cada lado. Para los cuadriláteros, la ecuación es:
P = a + b + c + d
De lo que se deduce que para un polígono de n lados:
donde n es
el número de lados y ai es
la longitud del lado i.
Es entonces que para un polígono equilátero o regular, siendo que todos los
lados son iguales:
p = na
Ejercicios:
Perímetro y
|
Perímetro: es la suma de los lados de una figura geométrica. Es su contorno.
Ejemplo No.
1:
Los lados del rectángulo de
la figura miden 10 cm. y 5 cm.
10
cm
|
 |
10
cm
|
El
perímetro del rectángulo lo obtenemos sumando todos sus lados:
Perímetro
= 10 cm + 5 cm + 10 cm + 5 cm = 30 cm
|
Por lo
tanto, el perímetro del rectángulo es 30 cm.
Respecto
al cuadrado, el perímetro (la longitud de su contorno) se
obtiene sumando sus cuatro
lados
Ejemplo No. 2:
En la
figura, los lados del triángulo miden 4 m.
Para obtener el perímetro sumamos sus lados:
Perímetro = 4 m + 4 m + 4 m = 12 m
|
El
perímetro del triángulo es 12 m
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Área: es la
medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región
interior.
Área de un rectángulo
El área del rectángulo corresponde a la medida de
la región verde, y se obtiene multiplicando la base por la altura.
Área = base ·
altura
|
Ejemplo:
Los lados del rectángulo de la figura miden 10 cm.
y 5 cm.
10 cm
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La altura de este rectángulo mide 5 cm.
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10 cm
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La base de este rectángulo mide 10 cm.
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Área = 10 · 5
= 50 cm2
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El área del rectángulo es 50 cm2
El centímetro
cuadrado (cm2) es una unidad que nos permite medir áreas. También
pueden ser metros cuadrados (m2), milímetros cuadrados (mm2),
etc.
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Área del cuadrado: El área de un cuadrado es igual al producto de lado
por lado.
Área de un triángulo: El área de un triángulo es igual a la mitad de su
base por la altura.
Ejemplos:
Si la base de un triángulo mide 10 cm y su altura
mide 5 cm., entonces el área del triángulo es 25 cm2
Área
del Círculo
Medida de la superficie limitada por la circunferencia.
Su fórmula es A = π * r2
Donde π es la constante de valor 3.14592….. (que podemos redondear a 3.1416) Y r es la medida del radio del círculo.
Ejemplo 1
Si se tiene una círculo de 10 cm de radio ¿cuál será su área?
A = 3.1416 * (10 cm)2
A = 3.1416 * 100 cm2
A = 314.16 cm2
A = 3.1416 * (10 cm)2
A = 3.1416 * 100 cm2
A = 314.16 cm2
Ejemplo 2
Si un círculo tiene 900 cm2 de área. ¿Cuánto mide su radio?
Despejando r de la fórmula original se tiene
r2 = A/π
De donde se deduce que r = √(A/π)
Para nuestro ejemplo r =√(900 cm2/3.1416)
r = 16.93 cm
Despejando r de la fórmula original se tiene
r2 = A/π
De donde se deduce que r = √(A/π)
Para nuestro ejemplo r =√(900 cm2/3.1416)
r = 16.93 cm
Figuras
Geométricas
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En la geometría, como
disciplina, se distinguen componentes tales como el plano, el punto, la línea
-recta, curva, quebrada-, la superficie, el segmento y otros de cuya
combinación nacen todas las figuras geométricas.
El patio de tu
escuela, una cancha de fútbol, los muebles de una casa o una tuerca son algunos
de los innumerables ejemplos en donde se pueden apreciar figuras geométricas.
Entonces, una figura
geométrica (también se la puede denominar lugar geométrico) corresponde a
un espacio cerrado por líneas o por superficies.
Las figuras
geométricas de lados rectos se denominan polígonos y las figuras de lados curvos se
denominan círculo y circunferencia y corresponden también a polígonos.
Es importante recordar
que las formas sólidas o tridimensionales corresponden
a los cuerpos
geométricos y
se denominan poliedros, como el cubo y la pirámide, y a los cuerpos redondos, como la esfera y el cilindro.
Según las
características de las figuras geométricas (polígonos) se pueden establecer
varias clasificaciones.
Según la medida de sus
lados y ángulos, los polígonos pueden ser regulares e irregulares.
Un polígono es regular si todos sus
lados poseen la misma longitud y si todos sus ángulos son iguales.
Ejemplos:
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Polígonos regulares
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Un polígono es irregular si todos sus lados tienen longitudes diferentes al igual que la
medida de sus ángulos.
Ejemplos:
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|
Lados diferentes
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Ángulos diferentes
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De acuerdo con sus ángulos interiores, los polígonos pueden ser convexos
y cóncavos.
Un polígono es convexo cuando todos sus ángulos interiores son menores
a 180°
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Ejemplo:
En el polígono ABCDE cada uno de sus ángulos
interires es menor de 180º
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Un polígono es cóncavo, si tiene al menos un ángulo interior mayor de
180 °
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Ejemplo:
El ángulo interior T del polígono RSTU es mayor de
180ª
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Ahora bien, según el número de lados que posean (el número de lados es
igual al número de ángulos que tiene la figura) los polígono se pueden
clasificar de la siguiente manera:
Nombre
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Número de lados
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Triángulo
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3
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Cuadrilátero
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4
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Pentágono
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5
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Hexágono
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6
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Heptágono
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7
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Octágono
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8
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Eneágono
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9
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Decágono
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10
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Undecágono
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11
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Dodecágono
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12
|
Los demás polígonos simplemente se nombran indicando el número de lados
que lo forman; polígono de trece lados, de catorce lados, etc., a excepción del
polígono de veinte lados que también recibe un nombre específico (icoságono).
Veamos en
seguida lo referente al polígono de tres lados, llamado triángulo.
Los triángulos
se clasifican según la medida de sus lados en:
Triángulo
equilátero: el que tiene sus 3
lados iguales.
Triángulo
isósceles: el que tiene 2 de sus lados de igual medida.
Triángulo
escaleno: el que tiene sus 3
lados de distinta medida.
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Los triángulos
también se pueden clasificar según la medida
de sus ángulos en:
Triángulo
acutángulo: el que tiene sus 3
ángulos agudos (menores de 90º)
Triángulo
rectángulo: el que tiene 1 ángulo
recto (90º)
Triángulo
obtusángulo: el que tiene 1
ángulo obtuso (mayor de 90º y menos que 180º)
 |
Otro de los
polígonos muy populares son los cuadriláteros, los cuales se clasifican en:
Paralelógramos: son aquellos que tiene 2 pares de
lados paralelos (cuadrado, rectángulo, rombo y romboide)
Trapecios: son aquellos que tienen 1 par de lados
paralelos
trapecio
isósceles: 2 lados de igual
medida, 2 ángulos basales iguales
trapecio
trisolátero: 3 lados de igual
medida, 2 pares de ángulos basales iguales
trapecio
rectángulo: ángulos basales
rectos (90º)
trapecio
escaleno: lados y ángulos de
distinta medida
Trapezoides: No tienen lados paralelos
trapezoide
simétrico: 2 lados de igual
medida
trapezoide
asimétrico: todos los lados de
distinta medida
Conocer las
características de los polígonos ayuda para el estudio de muchos temas como
perímetros y áreas entre otros.
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Volumen
|
El volumen es el espacio que
ocupan los cuerpos.
Los cuerpos geométricos existen
en el espacio y son por lo tanto objetos que tienen tres dimensiones (ancho,
alto y largo) limitados por una o más superficies. Si todas las superficies son
planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Si el cuerpo no está
limitado por polígonos, sino por superficies curvadas recibe el nombre de
cuerpos redondos.
La fórmula para calcular el
volumen de un cuerpo depende de su forma.
Para medir el volumen de un
cuerpo se utilizan unidades cúbicas, que son: milímetro cúbico, centímetro
cúbico, decímetro cúbico y metro cúbico
mm3, cm3, dm3, m3
|
Para determinar el volumen de los
cuerpos geométricos se debe tener en cuenta lo siguiente:
V = l3
|
2.- El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura, esto se expresa como:
V = Bh
|
3.- El volumen de un cilindro es igual al producto de p por el cuadrado del radio por la altura, esto se expresa como:
V = Π r2 h
|
4.- El volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del producto del área de la base por la altura, lo cual se expresa como:
V = B
h ÷ (dividido o partido por) 3
|
5.- El volumen del cono es igual a la tercera parte del
producto de pi por el cuadrado del radio por la altura, lo cual se expresa
como:
Π r2 h
÷ (dividido o partido por) 3
|
Con base en lo anterior se pueden resolver problemas que impliquen determinar el volumen de algún cuerpo geométrico.
1. La altura de un prisma
pentagonal es de 20
cm y sus bases miden 16
cm por lado y 11
cm de apotema, ¿cuál es su volumen?
Los datos con los que se cuenta
son:
longitud de los lados = 16
cm
longitud del apotema (a) = 11
cm
altura del prisma = 20
cm
Primero se procede a determinar
el área de la base (B):
 |
El perímetro (P) se halla
multiplicando la longitud de uno de los lados por cinco, ya que se trata de un
pentágono.
Sustituyendo valores se tiene:
 |
Una vez que se tiene el área de
la base, se determina el volumen de este prisma con la fórmula V = Bh
Sustituyendo valores se tiene:
V = 440 cm² ( 20
cm ) = 8.800 cm³
Esto indica que el volumen de
este prisma pentagonal es de 8.800 cm³.
2. Si la base de una pirámide
rectangular tiene por dimensiones 10 dm de largo y 8 dm de ancho, y la altura
de la pirámide es de 15 dm, ¿cuál es su volumen?
Los datos con que se cuenta son:
largo de la base = 10 dm
ancho de la base = 8 dm
altura de la pirámide = 15 dm
Se determina el área de la base
(B):
B = largo x ancho
Sustituyendo valores:
B = 10 dm (8 dm) = 80 dm²
Se aplica la fórmula para
calcular el volumen de una pirámide:
Sustituyendo valores:
V = 80 dm² (15 dm) = 1.200 dm³
El volumen de esta pirámide
rectangular es de 1.200 dm³; con base en lo anterior se concluye que:
El volumen de los prismas y las pirámides
se determina aplicando fórmulas, en las cuales se relaciona su longitud,
altura y anchura, mientras que en el cilindro y el cono se relacionan el
radio y la altura.
|
Volumen de una esfera
En el caso de una esfera (cuerpo
limitado por una superficie esférica, es decir, es la superficie que se crea
cuando una semicircunferencia gira en torno a su diámetro) el volumen se
calcula usando la siguiente fórmula:
Volumen esfera : 4 /
3 · p · R 3
p = 3,1415...
R =
Radio
Ejemplo:
Si el radio de una circunferencia es de 4
cm . ¿Cuál será su volumen?
V = 4 / 3 · 3.1415.. · ( 4 ) 3
V = 4 /
3 · 3,1415..· 64
V = 804,24772.
3
V = 268,08 cm 3
El diámetro corresponde a la
medida de dos radios y es el segmento de mayor longitud que gira dentro de la
circunferencia.
Ejercicios:
1. Dos postes miden 8 y 15m respectivamente y están
separados 24m. ¿Cuál es la distancia entre sus extremos superiores?
a) 26m
b) 25
c) 30
d) 27
e) 28
2. La distancia entre el punto medio del lado de un
triángulo equilátero a uno de los otros lados es 2 cm. Hallar el perímetro de
dicho triángulo.
a) 24 cm
b) 30
c) 12
d) 18
d) 18
e) 21
3. ¿Cuántas vueltas podrá darse con un hilo de 1256
cm, a un carrete de 10 cm de radio? (aproximadamente)
a) 18
b) 20
c) 10
d) 40
e) 25
4. Calcula el perímetro de:
a) un cuadrado de lado 5 cm.
b) un rectángulo de lados 8 m. y 6 m.
c) un rombo de lado 15 cm.
d) una circunferencia de radio 10 cm.
e) una circunferencia de diámetro 16 m.
f) un rombo de diagonales 8 m. y 10 m.
5. Calcula el área de:
a) un cuadrado de lado 15 cm.
b) un cuadrado de diagonal 8 cm.
c) un rectángulo de lados 15 m. y 8 m.
d) un rectángulo de ancho 6 cm. y diagonal 10 cm.
e) un rombo de diagonales 14 cm. y 18 cm.
f) un trapecio de bases 5 cm. y 12 cm. con altura de 4 cm.
g) una circunferencia de diámetro 20 m.
6. Determina el perímetro del rectángulo cuya
superficie es 24 cm2 y uno de sus lados mide 3 cm.
7. La cuarta parte de la superficie de un cuadrado
es 9 cm2. ¿Cuánto mide su lado?
8. Calcula la medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 60 cm.
9. Si el radio de una circunferencia es 10 m. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado circunscrito a ella?
8. Calcula la medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 60 cm.
9. Si el radio de una circunferencia es 10 m. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado circunscrito a ella?
10. Determina la longitud de
una circunferencia si el perímetro del cuadrado que la circunscribe es de 40
cm.
11. ¿Cuánto es la diferencia entre las áreas de una circunferencia de 12 m. de diámetro y otra de 8 m. de radio?
11. ¿Cuánto es la diferencia entre las áreas de una circunferencia de 12 m. de diámetro y otra de 8 m. de radio?
12. El área de un triángulo es 108 cm2 y su base mide 18 cm. ¿Cuál es la
medida de la altura?
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Integrantes:
- Luis Carlos Uparela Manchego
- Jairo Luis Viloria Martinez
- Luis Ramón Sarmiento Arrieta
- Carmelo José Escobar Arroyo
- José de Jesús Osorio Peña
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